パソコンやパソコン用のディスプレイは基本的には資源有効利用促進法に基づくPCリサイクルの仕組でメーカーに回収を依頼します。
パソコンやパソコン用ディスプレイのメーカーのウェブサイトに回収の案内のページがあります。
以下は各メーカーの機器回収の案内ページの例です。
機器類の廃棄まで責任を持って仕事や創作活動をする
機器類の処分の依頼先を間違えると、国際法に違反して海外へ輸出され、適切に再資源化されないまま深刻な環境汚染や健康被害を引き起こしたりする恐れがあります。
また、機器類に含まれる金属類などは人権問題や環境問題がからんでいるものが多く、再資源化して大切に使わなければなりません。
機器類の廃棄まで法令に従って責任を持ってやりがいのある仕事や創作活動をしましょう。
参考書籍
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まだ使えるなら買取に出してみる
壊れたわけでなく、諸事情で不要になっただけでまだ使える機器は回収に出さずに信頼できる中古買取店に出すと良いでしょう。
パソコンのメーカーでも、公式サイトを確認すると自社製品の買取をしているケースが結構あります。
引き続き別の人に使ってもらえば新品の機器を作る量を減らせるので環境負荷を減らせます。
パソコンやパソコン用ディスプレイは法律に基づき回収してもらう
パソコンやパソコン用ディスプレイは、基本的には資源有効利用促進法に基づいたPCリサイクルの仕組みでメーカーに回収してもらいます。
参考リンク
参考記事

パソコンやディスプレイのメーカーのリサイクル案内ページの例
パソコン用のディスプレイのメーカーのサイトにPCリサイクルの仕組みに則った回収の申し込みの案内ページがあります。
検索サイトで「メーカー名 + PCリサイクル」などで検索すると見つかります。
いずれも、家庭系の機器の回収と事業系の機器の回収それぞれの説明が載っています。
※ほとんどのメーカーがパソコン3R推進協会の会員でPCリサイクルの仕組みで回収をしていますが、ごく一部にパソコン3R推進協会の会員ではなくパソコン3R推進協会のPCリサイクルとは別の流れで回収をしているメーカーもあるかもしれません。
アイ・オー・データ
IBM
アイリスオーヤマ
eMachines
iiyama
acer
ASUS
EIZO
EPSON
NEC
シャープNECディスプレイソリューションズ株式会社
LGエレクトロニクス
hp
AOC
GALLERIAブランド
KOORUI
コンパック(compaq)
GREEN HOUSE
Gateway
JVCケンウッド
KOUZIRO
サムスン
非常に見つけにくいですが検索すると見つかりました。
Surface
三洋電機
Xiaomi
ソーテック(SOTEC)
Diginnosブランド
DEC
DELL
Panasonic
SHARP
SONY
ViewSonic
富士通
Primeブランド
プリンストン
FRONTIER
BenQ
マウスコンピューター
三菱電機
raytrekブランド
Lenovo
メーカーに回収依頼できない場合も法律に従って回収に出す
自作パソコン、メーカーが分からない、メーカーが倒産して存在しない、などのケースでも法律に従って回収に出します。
パソコン3R推進協会に回収を申し込む
パソコンやパソコン用ディスプレイの回収をパソコン3R推進協会のサイトから申し込めます。
参考リンク
リネットジャパンに回収を申し込む
リネットジャパンで法律に基づくパソコンやPCモニター、小型家電の回収を行なっているので、リネットジャパンに回収を依頼することもできます。